CONJUNTO, NÚMEROS NATURALES Y REALES.

CONJUNTO Y NÚMEROS REALES.

Cuando matemáticamente hablamos de un conjunto, hablamos de un conjunto o acumulado de objetos, por ejemplo tenemos un conjunto de letras. Y cada una de ellas le conocemos como un elemento de este conjunto.

Ejemplo.

A, B, C, D, E, F, G, H, I. = (Conjunto de Letras, Conjunto A)

B = (Un elemento del conjunto)

Podemos agrupar a un conjunto en subconjuntos entre llaves para ordenarlos según algún criterio ordenado.

Ejemplo.

                {A, E, I} = (Vocales, subconjunto B)

Según esto podemos decir que el subconjunto de B, está incluido en el conjunto de A. Y solo en esa condición podemos llamarla subconjunto, siempre que todo el subconjunto B este incluido en el conjunto A.

Números Naturales. Cuando leemos 2, 3, 4 podemos decir que este también es un conjunto, a estos lo llamamos enteros positivos o también números naturales.

Números reales. Son aquellos que se pueden representar en una recta numérica, también conocida como recta de coordenadas o recta de números reales. Los números reales se clasifican en racionales o irracionales.

Números racionales. Es todo numero que pueda escribirse en una fracción, pueden representarse también con números decimales que tienen fin, el numero 0 (cero) está incluido en este grupo debido a que podemos expresarlo en una fracción 0/2.

Ejemplo.4/10 También se puede expresar 0,40

Numero irracionales. Son llamados número irracionales aquellos números que no se pueden expresar con números decimales, por no tener fin o ser infinitos.

Ejemplo.4/12 En decimales 0,3333333333333…...

También son irracionales, µ (i), raíz cuadrada de 2

PARA REVISAR SI COMPRENDIMOS ESTOS TEMAS POR FAVOR CONTESTA .

-          ¿5 es un número racional?

-          ¿0 no es un número racional?

-          ¿Raíz cuadrada de 16 si es un número irracional?

-          ¿Los números representados en fracciones son números enteros?

-          ¿Los números negativos son números enteros?

-          ¿5/0 Es un número racional?

-          ¿2/3 es un número racional?

-          B = (2, 5, 8) es un subconjunto de conjunto A= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 

OPERACIONES ALGEBRAICAS. SUMA Y RESTA ALGEBRAICA.

OPERACIONES ALGEBRAICAS.

Una expresión es algebraica cuando esta posee una variable, o letra. La expresión 2x²y + 3x posee dos términos, 2x²y es el primer termino y 3x es el segundo termino. El primer termino posee dos variables x, y. 

SUMA ALGEBRAICA

Para proceder a realizar una suma algebraica primero eliminamos los paréntesis. Luego usando la propiedad conmutativa, (sumar los sumandos en cualquier orden, porque el orden de los factores no altera el producto) procedemos a sumar todos los términos que son semejantes sus variables (o letras) tomando en cuenta que deben tener el mismo exponente.

Ejemplo 1.

(2x²y + 3x + 2) + (5x²y + 5x – 4)

1º Eliminamos los paréntesis.

2x²y + 3x + 2 + 5x²y + 5x – 4

Nota que agrupamos las variables similares incluyendo sus exponentes

                                                2x²y  + 5x²y = 7x²y,

                                                           3x  + 5x = 8x

                                                           2  - 4 = -2

Respuesta = ( 2x²y + 3x + 2 ) + ( 5x²y + 5x – 4) = 7x²y + 8x – 2

RESTA ALGEBRAICA

Para proceder a realizar una resta entre expresiones algebraicas al igual que en la suma, primero eliminamos los paréntesis, y en el caso de una resta para eliminar los paréntesis se debe a la expresión que esta con el signo “menos” (-) multiplicarla por “menos uno” (-1) lo que convierte a cada termino de la expresión a cambiar de signo.

Ejemplo.

(2x²y + 3x + 2) - (5x²y + 5x – 4)

1º Eliminamos los paréntesis.

 (2x²y + 3x + 2) + (-1) (5x²y + 5x – 4)

(2x²y + 3x + 2) + (-5x²y - 5x + 4)

Luego procedemos a realizar una suma normal, agrupando las variables similares

(2x²y + 3x + 2) + (-5x²y - 5x + 4)

            2x²y  - 5x²y = -3x²y

                        3x  - 5x = -3x

                        2  + 4 = 6

Respuesta = (2x²y + 3x + 2) - (5x²y + 5x – 4) = -3x²y - 3x + 6

Tanto Por Ciento. Regla de tres.

Cuando se habla de porcentaje nos estamos refiriendo a una unidad con un calificativo de cien y se le pone el signo % (por ciento)

Si decimos que tenemos el 15%, (quince por ciento) estamos diciendo que de 100 unidades, nosotros tenemos 15.

Como lo calculamos de la siguiente manera.
100 multiplicamos por 15 y su resultado lo dividimos para 100.

Ejemplo. Calcular el 20% de 8.500.

Respuesta: El 20% de 8.500 es 1.700.

A esto se lo conoce también como una regla de tres simple.
8.500             100%
?                      20%

8.500 x 20 = 170.000; luego 170.000 / 100 = 1.700.

EJEMPLO N°1.

Compramos una computadora en $1.500 sobre el cual nos dan un descuento del 13% por cancelar al contado. ¿Cuanto vamos a pagar?

Primero calculamos el descuento.

1.500             100%
?                      13%

1.500 x 13 = 19.500; luego 19.500 / 100 = 195.

El descuento es de $195. Que representa el 13% de los $1.500
Luego restamos 1.500 - 195 = 1.305.
El valor a pagar por la computadora es de %1.305.

* También podemos decir que 1.500 (1 - 0.13) = 1.305


EJEMPLO N°2.
Compramos un vehículo, cuyo valor es de $13.500 mas IVA (12%), y por tratarse de una oferta, nos dan un 8% de descuento.

Realizamos el procedimiento para calcular el Descuento
13.500 (1 - 0.08) = 12.420

Sobre ese valor realizamos el calculo del IVA
(12.420 x 12) / 100 = 13.910,40

* También podemos decir que 12.420 (1 + 0,12) = 13.910,40

Progresiones Aritméticas y Geométricas.

Una progresión es una secuencia de forma constante, en matemáticas se da esto en una serie de números o términos, en los cuales se podemos obtener el numero siguiente realizando una operación con el ultimo dato que tenemos siguiendo el "orden" o la progresión que observamos.

Existen progresiones aritméticas, geométricas y geométricas infinitas. y con cada una de estas podemos realizar algunas operaciones.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA.

Es una secuencia de números, 4, 8, 12, 16, 20 de los cuales podemos ver la relación que tiene el primero termino con el segundo, del cual podemos deducir que se sumaron 4 unidades para obtener el segundo termino, y así sucesivamente. También se puede usar la resta en una progresión aritmética, 90, 80, 70, 60, 50.. la diferencia común es de 10

 Si queremos obtener un termino determinado en una progresión, por ejemplo deseamos saber cual es el termino numero 56 de la siguiente sucesión numérica. 15, 52, 89, 126, 163, 200...., ...., ..., ..., ..., ... 

Podríamos resolverlo sumando 13 a cada termino hasta llegar al 56 termino de la sucesión.  Pero para facilitar el trabajo aplicaremos una formula. donde

Como obtener el último termino (U) de una progresión aritmética 

15, 52, 89, 126, 163, 200 ....

u = ultimo termino

a = primer término;  (15)

n = número de términos;  (56)

d = diferencia común; (37)

   Formula U = a + (n - 1)d; 

U = 15 + (56 - 1)37

U = 15 + 2.035

U =  2050

Como obtener la suma (S) de de una progresión aritmética 

Deseamos saber cuanto suma los 30 términos de esta progresión 15, 52, 89, 126, 163, 200 ....

   Formula S = (n/2)(a+u)

Esto implica que debemos encontrar el ultimo termino para luego reemplazar.

U = a + (n -1)d

U = 15 + (30 - 1)37

U = 1088.

S = (30/2) (15+1088)

S = 15 x 1103

S = 16.545

PRACTICA.

Un señor compra una casa, en el primer año el señor canceló $850, en el segundo $975, en el tercero pago $1.100, en el cuarto pagó $1.225, y en el quinto $1.350. ¿Al cabo de 40 pagos en total, cuanto terminara costando la casa?

Progresión Geométrica.

Progresión Geométrica.

En similitud a una progresión aritmética, consiste en deducir de un número anterior al número siguiente siguiendo una constante, a la cual se llamara razón, pero a diferencia de la progresión aritmética esta será el resultado de una multiplicación o una división.

Por ejemplo.

2 – 12 – 72 – 432 – 2592……

Una progresión ascendente aritmética cuya razón es multiplicar por 6

1000 – 500 – 250 – 125 – 62,50 – 31,25

Una progresión descendente aritmética cuya razón es de dividir para 2

Operaciones en una progresión geométrica.

Ultimo Termino.

En una progresión geométrica podemos conocer cuál será el último término, si necesidad de calcular uno por uno los términos. Para ello usamos la siguiente formula.

u = ar ^n-1

u = ultimo termino

a = primer termino

r = razón común

n = numero de términos.

Suma de una progresión geométrica.

Si en una progresión geométrica deseamos conocer la suma de todos sus elementos, usamos la siguiente formula.

                         S = (a – arⁿ)/(1 – r), si la razón es menor que 1.

                         S = (arⁿ – a)/(r – 1), si la razón es mayor que 1.

Ejemplo: deseamos encontrar el termino Nº 10, y sumar los 25 primeros términos de la siguiente progresión aritmética.

150; 450; 1350; 4050;…

u = último término; a = 150; r = 3; n = 10

u = ar ^n-1

u = 150 (3)^{10 – 1} =  150 (3)⁹ = 150 (19683) = 2’952.450

S = (arⁿ – a)/(r – 1), si la razón es mayor que 1

S = suma; a = 150; r = 3; n = 10

S = [150(3)¹⁰-150)]/(3-1) = (150)(59049)/2 = 8’857.350/2 = 4’428.675.

Práctica 1.

Un galpón tiene un valor actual de $1’550.000, al final de cada año el galpón por el uso que le damos se va depreciando un 9%. Deseamos calcular su valor después de 7 años.

1er año = 1’550.000 (1 – 0,09);         2do año= 1’550.000 (1 – 0,09)²;

3er año = 1’550.000 (1 – 0,09)³;        4to año = 1’550.000 (1 – 0,09)⁴;

u = ar ^n-1

a = 1’550.000;            r = (1-0,09);                n = 7

u = 1’550.000 (1-0,09)^7-1

u = 1’550.000 (1-0,09)⁶

u = 1’550.000 (1-0,09)⁶;

u = 1’550.000 (0,5679)

u = 880.245

Práctica 2.

Compramos un terreno el cual tiene un valor actual de $600.000, al final de cada año el terreno sufre una revalorización por las mejoras de la ciudad de un 3%, ¿Cuánto costara dicho terreno al cabo de 15 años?