Progresión Geométrica.

Progresión Geométrica.

En similitud a una progresión aritmética, consiste en deducir de un número anterior al número siguiente siguiendo una constante, a la cual se llamara razón, pero a diferencia de la progresión aritmética esta será el resultado de una multiplicación o una división.

Por ejemplo.

2 – 12 – 72 – 432 – 2592……

Una progresión ascendente aritmética cuya razón es multiplicar por 6

1000 – 500 – 250 – 125 – 62,50 – 31,25

Una progresión descendente aritmética cuya razón es de dividir para 2

Operaciones en una progresión geométrica.

Ultimo Termino.

En una progresión geométrica podemos conocer cuál será el último término, si necesidad de calcular uno por uno los términos. Para ello usamos la siguiente formula.

u = ar ^n-1

u = ultimo termino

a = primer termino

r = razón común

n = numero de términos.

Suma de una progresión geométrica.

Si en una progresión geométrica deseamos conocer la suma de todos sus elementos, usamos la siguiente formula.

                         S = (a – arⁿ)/(1 – r), si la razón es menor que 1.

                         S = (arⁿ – a)/(r – 1), si la razón es mayor que 1.

Ejemplo: deseamos encontrar el termino Nº 10, y sumar los 25 primeros términos de la siguiente progresión aritmética.

150; 450; 1350; 4050;…

u = último término; a = 150; r = 3; n = 10

u = ar ^n-1

u = 150 (3)^{10 – 1} =  150 (3)⁹ = 150 (19683) = 2’952.450

S = (arⁿ – a)/(r – 1), si la razón es mayor que 1

S = suma; a = 150; r = 3; n = 10

S = [150(3)¹⁰-150)]/(3-1) = (150)(59049)/2 = 8’857.350/2 = 4’428.675.

Práctica 1.

Un galpón tiene un valor actual de $1’550.000, al final de cada año el galpón por el uso que le damos se va depreciando un 9%. Deseamos calcular su valor después de 7 años.

1er año = 1’550.000 (1 – 0,09);         2do año= 1’550.000 (1 – 0,09)²;

3er año = 1’550.000 (1 – 0,09)³;        4to año = 1’550.000 (1 – 0,09)⁴;

u = ar ^n-1

a = 1’550.000;            r = (1-0,09);                n = 7

u = 1’550.000 (1-0,09)^7-1

u = 1’550.000 (1-0,09)⁶

u = 1’550.000 (1-0,09)⁶;

u = 1’550.000 (0,5679)

u = 880.245

Práctica 2.

Compramos un terreno el cual tiene un valor actual de $600.000, al final de cada año el terreno sufre una revalorización por las mejoras de la ciudad de un 3%, ¿Cuánto costara dicho terreno al cabo de 15 años?